Направляющие косинусы осей. Направляющие косинусы

Опр. 1.5.6. Направляющими косинусами вектора а назовём косинусы тех углов , которые этот вектор образует с базисными векторами, соответственно, i , j , k .

Направляющие косинусы вектора а = (х , у , z ) находятся по формулам:

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:

Направляющие косинусы вектора a являются координатами его орта: .

Пусть базисные орты i , j , k отложены из общей точки О . Будем считать, что орты задают положительные направления осей Ох , Оу , Oz . Совокупность точки О (начала координат ) и ортонормированного базиса i , j , k называется декартовой прямоугольной системой координат в пространстве . Пусть А – произвольная точка пространства. Вектор а = ОА = xi + yj + zk называется радиусом-вектором точки А , координаты этого вектора (x , y , z ) называются также координатами точки А (обозначение: А (x , y , z )). Оси координат Ох , Оу , Oz называют также, соответственно, осью абсцисс , осью ординат , осью аппликат .

Если вектор задан координатами своей начальной точки В 1 (x 1 , y 1 , z 1) и конечной точки В 2 (x 2 , y 2 , z 2), то координаты вектора равны разности координат конца и начала: (так как ).

Декартовы прямоугольные системы координат на плоскости и на прямой определяются совершенно аналогично с соответствующими количественными (в соответствии с размерностью) изменениями.

Решение типовых задач.

Пример 1. Найти длину и направляющие косинусы вектора а = 6i – 2j -3k .

Решение. Длину вектора: . Направляющие косинусы: .

Пример 2. Найти координаты вектора а , образующего с координатными осями равные острые углы, если длина этого вектора равна .

Решение. Так как , то подставляя в формулу (1.6), получим . Вектор а образует с координатными осями острые углы, поэтому орт . Следовательно, находим координаты вектора .

Пример 3. Заданы три некомпланарных вектора e 1 = 2i – k , e 2 = 3i + 3j , e 3 = 2i + 3k . Разложить вектор d = i + 5j - 2k по базису e 1 , e 2 , e 3 .

Пусть дан вектор (х , у , z ).

Обозначим углы наклона этого вектора к осям Ох, Оу иOz соответственно буквами ,и. Три числа cos , cos и cos принято называть направляющими косинусами вектора . Полагая= (1; 0; 0 ) получаем из (9)

Аналогично

Из формул (11) - (13) следует:

1) сos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 ,

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого ненулевого вектора равна единице ;

т.е. направляющие косинусы этого вектора пропорциональны его соответствующим проекциям.

Примечание. Из формул (11)-(13) видно, что проекции любого единичного вектора на оси координат соответственно совпадают с его направляющими косинусами и, следовательно,

Пример. Найти направляющие косинусы вектора (1; 2; 2). По формулам (11)-(13) имеем

4. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства.

Определение. Векторным произведением двух векторов и называется новый вектор, модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторахи, приведенных к общему началу, и который перпендикулярен к перемножаемым векторам (иначе говоря, перпендикулярен к плоскости построенного на них параллелограмма) и направлен в такую сторону, чтобы кратчайший поворот отквокруг полученного векторапредставлялся происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора(рис. 40).

Если векторы иколлинеарны, то их векторное произведение считается равным нулевому вектору. Из этого определения следует, что

|| = || || sin,

где - угол между векторамии(0 ). Векторное произведение векторовиобозначается символом

х или или [,].

Выясним физический смысл векторного произведения. Если вектор изображает приложенную в некоторой точкеМ с илу, а векторидет из некоторой точкиО в точкуМ, то вектор= представляет собой момент силыотносительно точкиО.

Свойства векторного произведения

1 . При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е.

х = -(x).

()х=х()=(х), где- скаляр.

3. Векторное произведение подчиняется распределительному закону, т.е.

4. Если векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору, то либо равен нулевому вектору хотя бы один из перемножаемых векторов (тривиальный случай), либо равен нулю синус угла между ними, т.е. векторы коллинеарны.

Обратно, если два ненулевых вектора коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору.

Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора ибыли коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.

Отсюда, в частности, следует, что векторное произведение вектора на самого себя равно нулевому вектору:

х = 0

(х еще называют векторным квадратом вектора .

5. Смешанное произведение трех векторов и его основные свойства.

Пусть даны три вектора ,и. Представим себе, что векторумножается векторно наи полученный векторхумножается скалярно на вектор, тем самым определяется число (х). Оно называется илисмешанным произведением трех векторов,и.

Для краткости смешанное произведение (х)будем обозначатьили ().

Выясним геометрический смысл смешанного произведения . Пусть рассматриваемые векторыинекомпланарны. Построим параллелепипед на векторах,икак на ребрах.

Векторное произведение xесть вектор(=), численно равный площади параллелограммаOADB (основание построенного параллелепипеда), построенного на векторахии направленный перпендикулярно к плоскости параллелограмма (рис. 41).

Скалярное произведение (x)=есть произведение модуля вектораи проекции векторана(см. п. 1, (2)).

Высота построенного параллелепипеда есть абсолютная величина этой проекции.

Следовательно, произведение | |по абсолютной величине равно произведению площади основания параллелепипеда на его высоту, т.е. объему параллелепипеда, построенного на векторах, и.

При этом важно отметить, что скалярное произведение дает объем параллелепипеда иногда с положительным, а иногда с отрицательным знаком. Положительный знак получается, если угол между векторамииострый; отрицательный - если тупой. При остром угле междуивекторрасположен по ту же сторону плоскостиOADB , что и вектор и, следовательно, из конца векторавращение откбудет видно так же, как и из конца вектора, т.е. в положительном направлении (против часовой стрелки).

При тупом угле между векторрасположен по другую сторону плоскостиOADB , чем вектор, и, следовательно, из конца векторавращение откбудет видно в отрицательном направлении (по часовой стрелке). Иными словами, произведениеположительно, если векторы,иобразуют систему, одноименную с основной Oxyz (взаимно расположены так же, как оси Ox, Oy, Oz), и оно отрицательно, если векторы,образуют систему, разноименную с основной.

Таким образом, смешанное произведение есть число ,абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда ,построенного на векторах ,как на ребрах .

Знак произведения положителен, если векторы ,,образуют систему, одноименную с основной, и отрицателен в противном.

Отсюда следует, что абсолютная величина произведения =(х)останется той же, в каком бы порядке мы ни брали сомножители,,. Что касается знака, то он будет в одних случаях положительным, в других - отрицательным; это зависит от того, образуют ли наши три вектора, взятые в определенном порядке, систему, одноименную с основной, или нет. Заметим, что у нас оси координат расположены так, что они следуют одна за другой против часовой стрелки, если смотреть во внутреннюю часть (рис. 42). Порядок следования не нарушается, если мы начнем обход со второй оси или с третьей, лишь бы он совершался в том же направлении, т.е. против часовой стрелки. При этом множители переставляются в круговом порядке (циклически). Таким образом, получаем следующее свойство:

Смешанное произведение не меняется при круговой (циклической) перестановке его сомножителей. Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения

= ==-()=-()=-().

Наконец, из геометрического смысла смешанного произведения непосредственно следует следующее утверждение.

Необходимым и достаточным условием компланарности векторов ,,является равенство нулю их смешанного произведения:

это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат. Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора. Если вектор имеет длину 1, то его направляющие косинусы равны его координатам. В общем случае для вектора с координатами (a ; b ; c ) направляющие косинусы равны:

где a, b, g – углы, составляемые вектором с осями x , y , z соответственно.

21)Разложение вектора по ортам. Орт координатной оси обозначается через , оси - через , оси - через (рис. 1).

Для любого вектора , который лежит в плоскости , имеет место следующее разложение:

Если вектор расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид:

22)Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

23)Угол между двумя векторами

Если угол между двумя векторами острый, то их скалярное произведение положительно; если угол между векторами тупой, то скалярное произведение этих векторов отрицательно. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.

24)Условие параллельности и перпендикулярности двух векторов.

Условие перпендикулярности векторов
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.Даны два вектора a(xa;ya) и b(xb;yb). Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение xaxb + yayb = 0.

25)Векторные произведение двух векторов.

Векторным произведением двух неколлинеарных векторов называется такой вектор c=a×b, который удовлетворяет следующим условиям: 1) |c|=|a| |b| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) Векторы a, b, с образуют правую тройку векторов.

26) Коллинеарные и компланарные вектора..

Векторы коллинеарные, если абсцисса первого вектора относится к абсциссе второго так же, как ордината первого - к ординате второго.Даны два вектора a (xa ;ya ) и b (xb ;yb ). Эти векторы коллинеарны, если x a = x b и y a = y b , где R .

Векторы −→a ,−→b и −→c называются компланарными , если существует плоскость, которой они параллельны.

27) Смешанное произведение трех векторов. Смешанное произведение векторов - скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c. Найти смешанное произведение векторов a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Решение:

1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28)Расстояние между двумя точками на плоскости. Расстояние между двумя данными точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.

29)Деление отрезка в данном отношении. Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки ( , ) и ( , ), и дано отношение , в котором точка М делит отрезок , то координаты точки М определяются по формулам

Если точка М является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам

30-31. Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой. Угловой коэффициент прямой обычно обозначают буквой k . Тогда по определению

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид , где k - угловой коэффициент прямой, b – некоторое действительное число. Уравнением прямой с угловым коэффициентом можно задать любую прямую, не параллельную оси Oy (для прямой параллельно оси ординат угловой коэффициент не определен).

33.Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение вида есть общее уравнение прямой Oxy . В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

34.Уравнение прямой в отрезках на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy имеет вид , где a и b - некоторые отличные от нуля действительные числа. Это название не случайно, так как абсолютные величины чисел а и b равны длинам отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях Ox и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат). Таким образом, уравнение прямой в отрезках позволяет легко строить эту прямую на чертеже. Для этого следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точки с координатами и , и с помощью линейки соединить их прямой линией.

35.Нормальное уравнение прямой имеет вид

где – расстояние от прямой до начала координат;  – угол между нормалью к прямой и осью .

Нормальное уравнение можно получить из общего уравнения (1), умножив его на нормирующий множитель , знак  противоположен знаку , чтобы .

Косинусы углов между прямой и осями координат называют направляющими косинусами,  – угол между прямой и осью ,  – между прямой и осью :

тем самым, нормальное уравнение можно записать в виде

Расстояние от точки до прямой определяется по формуле

36.Расстояние между точкой и прямой вычисляется по следующей формуле:

где x 0 и y 0 координаты точки, а A, B и С коэффициенты из общего уравнения прямой

37. Приведение общего уравнения прямой к нормальному. Уравнение и плоскость в данном контексте не отличаются друг от друга чем-то, кроме количества слагаемых в уравнениях и размерностью пространства. Поэтому сначала скажу все про плоскость, а в конце сделаю оговорку по поводу прямой.
Пусть дано общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0.
;. получаем систему:g;Mc=cosb, MB=cosaПриведем его к нормальному виду. Для этого умножим обе части уравнения на нормирующий множитель М. Получаем: Мах+Мву+МСz+MD=0. При этом МА=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa получаем систему:

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Сложив все уравнения системы, получаем М*(А2 +В2+С2)=1 Теперь остается только выразить отсюда М, чтобы знать, на какой именно нормирующий множитель надо умножить исходное общее уравнение для приведения его к нормальному виду:
M=-+1/КОРЕНЬ КВ А2 +B2 +C2
MD должен быть всегда меньше нуля, следовательно знак числа М берется противоположный знаку числа D.
С уравнением прямой все то же самое, только из формулы для М следует просто убрать слагаемое С2.

Ax + By + Cz + D = 0,

38. Общим уравнением плоскости в пространстве называется уравнение вида

где A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .

В трехмерном пространстве в декартовой системе координат любая плоскость описывается уравнением 1–ой степени (линейным уравнением). И обратно, любое линейное уравнение определяет плоскость.

40.Уравнение плоскости в отрезках. В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнение вида , где a , b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках . Абсолютные величины чисел a , b и c равны длинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях Ox , Oy и Oz соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a , b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) откладываются отрезки на координатных осях

41) Нормальное уравнение плоскости.

Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде

где , , - направляющие косинусы нормали плоскоти, э

p - расстояние от начала координат до плоскости. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).

42)Расстояние от точки до плоскости. Пусть плоскость задана уравнением и дана точка . Тогда расстояние от точки до плоскости определяется по формуле

Доказательство . Расстояние от точки до плоскости -- это, по определению, длина перпендикуляра , опущенного из точки на плоскость

Угол между плоскостями

Пусть плоскости и заданы соответственно уравнениями и . Требуется найти угол между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла: два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из

плоскостей проведем перпендикуляры и к линии пересечения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Вектором называется упорядоченная пара точек и (то есть точно известно, какая из точек в этой паре первая).

Первая точка называется началом вектора , а вторая – его концом .

Расстояние между началом и концом вектора называется длиной или модулем вектора .

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается ; его длина считается равной нулю. В противном случае, если длина вектора положительна, то его называют ненулевым .

Замечание . Если длина вектора равна единице, то он называется ортом или единичным вектором и обозначается .

ПРИМЕР

Задание	Проверить, является ли вектор единичным.
Решение	Вычислим длину заданного вектора, она равна корню квадратному из суммы квадратов координат: Поскольку длина вектора равна единице, значит, вектор является ортом.
Ответ	Вектор единичный.

Ненулевой вектор также можно определить как направленный отрезок.

Замечание . Направление нулевого вектора не определено.

Направляющие косинусы вектора

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Направляющими косинусами некоторого вектора называются косинусы углов, которые вектор образует с положительными направлениями координатных осей.

Замечание . Однозначно направление вектора задают его направляющие косинусы.

Чтобы найти направляющие косинусы вектора необходимо вектор нормировать (то есть вектор поделить на его длину):

Замечание . Координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам.

ТЕОРЕМА

(Свойство направляющих косинусов). Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице: